ТУРБУЛЕНТНОСТЬ.
ТОРСИОННО-ВОЛНОВАЯ ПАРАДИГМА

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

 

Торсионно-волновая парадигма турбулентности основана на эмпирическом анализе уравнений Навье-Стокса и предполагает детерминированный подход к общей проблеме турбулентности. В соответствии с теоремой о разложении сложного турбулентного движения выделяются четыре элементарных движения: поступательное, волновое, вращательное и торсионное. Турбулентность трактуется как череда устойчивых состояний потока (солитонов): волны Толмиена-Шлихтинга, градиентные волны Кельвина-Гельмгольца, вихри Тейлора-Гертлера и торсионные жгуты. Выделяются четыре предельных состояния турбулентности: ламинарное движение при малых числах Рейнольдса, ламинарное движение в сверхзвуковой области, включая критическое сечение, ударно-волновая структура в сверхзвуковом течении и течение со скачками уплотнений в гиперзвуковых потоках.

Традиционный взгляд на проблему турбулентности основывается на положениях, разработанных Осборном Рейнольдсом после проведенного им классического опыта на различных режимах течения подмешенных в воду струй краски. Такой, с виду незамысловатый, опыт открывал в науке гидродинамике не только новый вид вязкого пространственного течения (турбулентного течения по терминологии лорда Кельвина), но и решил на то время давний спор между гидродинамиками-теоретиками (Даламбер, Эйлер) и практиками (Фултон и др.) по вопросу влияния на течения вязкости и возникновения вихревых зон вблизи обтекаемого тела. Рейнольдс не только "растащил" спорящих авторитетных ученых, чем приобрел себе чрезвычайную среди них популярность, но и сказал, когда и при каких условиях возникает ламинарное и турбулентное течение. Он ввел понятие некоего критического числа (в последствии критерия Рейнольдса), после которого наступал режим, принципиально отличный от ламинарного. Результаты анализа экспериментов Рейнольдс начал трактовать как переход от детерминированного течения к течению хаотическому, в общем, случайному, но имеющему некое среднее направление, отслеживающее русло канала. В связи с этим Рейнольдс ввел понятие пульсационной составляющей течения, которая аддитивно накладывается на среднее течение. При таком подходе все параметры течения: скорости, давления, плотности и температуры потока в каждой точке движущейся среды представляются как суммы средних и пульсационных величин. Такой декларированный подход привел к тому, что взятые для описания турбулентного течения классические уравнения Навье-Стокса превратились в уравнения Рейнольдса, где появилась пульсационная составляющая, также зависящая от координат. Грубо говоря, Рейнольдс "распульсировал" уравнения Навье-Стокса. Вследствие такой операции дополнительно появилось три уравнения движения, имеющих хаотический характер, а с математической точки зрения новая система уравнений оказалась незамкнутой. Появилась необходимость в добавлении к уравнениям трех статистических условий, получение которых стало возможным только после изобретения в 1920 г. Дж.Т. Моррисом термоанемометра. Турбулентность как наука превратилась в одну из дисциплин математической статистики (А.Н. Колмогоров и др.). Исследование турбулентности на простейших "плосковоздушных" установках с применением для обработки результатов законов математической статистики позволило разработать недостающие граничные условия на базе гипотетических моделей (моделей турбулентности).

 

Герман-Людвиг-Фердинанд фон Гельмгольц, немецкий физик (31.08.1821- 08.09.1894)

Поскольку основополагающей предпосылкой при разработке статистической теории турбулентности является введение понятия случайного процесса, процесса хаотического пульсационного движения, то результатом предсказаний по данной теории не могут быть точные значения параметров потока, а лишь вероятность реализации тех или иных случайных ситуаций. Другими словами, данная теория не способна точно предсказывать атрибутивные особенности классической газовой динамики, такие как линии тока, вихревые линии, скачки уплотнений и др. Кроме того, данная теория изначально предполагает наличие хорошо перемешанного потока, в котором тонкие особенности течения смазываются "шумовыми" эффектами пульсационного движения, наложенного на среднестатистический поток. Однако в экспериментах с уносимыми полимерными покрытиями стенок канала (метод уноса массы) и саже-мазевыми покрытиями наблюдаются четко очерченные следы омываемых стенки потоков, что говорит о неточности статистической парадигмы турбулентности.

Альтернативой является торсионно-волновая парадигма, которая может быть проиллюстрирована на примере эмпирического анализа уравнений Навье-Стокса. Поскольку парадигма характеризуется совокупностью фундаментальных научных установок, представлений и терминов, то для ее обоснования требуется привести доказательные экспериментальные и теоретические результаты. Причем частные факты, полученные в экспериментах рассматриваются как частные решения данных уравнений. Классическая газовая динамика дает ответы на многие поставленные вопросы. На сегодняшний день сформулированы основополагающие принципы. Среди них принцип Гамильтона о механической энергии и принцип Гельмгольца о максимуме диссипативной энергии. Записаны общие реологические уравнения для текучих сред, устанавливающие зависимость касательных напряжений от скорости деформации сдвига. Сформулированы основные законы сохранения: массы, количества движения и энергии. Из этих общих законов выводятся основные дифференциальные уравнения механики жидкости, газа и плазмы и следующие из них общие интегралы и теоремы. Установлены феноменологические законы: Клапейрона-Менделеева, Ньютона - для вязкости, Фурье - для теплопроводности, Фика - для диффузии и другие [1].
Векторное уравнение Навье-Стокса также является следствием применения перечисленных выше принципов и законов. На сегодняшний день для гидро-, аэро- и газодинамики оно является самым общим и позволяет описывать любые течения, в том числе и турбулентные. При анализе турбулентности плазмы уравнения Навье-Стокса необходимо дополнить членом, представляющим силу Лоренца.

Разложение турбулентного движения на элементарные виды (теорема)

 

Уильям Томсон (лорд Кельвин), ирландский физик (26.06.1824-17.12.1907)

В соответствии с первой теоремой Гельмгольца [2] скорость точек элементарного объема сплошной среды представляется как сумма скоростей квазитвердого и деформационного его движения. Причем, квазитвердое движение, в свою очередь, характеризуется также суммой поступательного движения полюса элементарного объема и его вращения вокруг полюса. Деформационное движение характеризуется тензором деформации элементарного объема среды, включающего деформации от касательных и нормальных напряжений. Таким образом, согласно первой теореме Гельмгольца, любое движение можно представить как сумму трех элементарных движений: поступательного, вращательного и деформационного.

Рассмотрим более подробно деформационное движение с использованием категорий прочности. При этом отметим, что движением в этом случае является перемещение под воздействием того или иного напряжения. Так, например, по закону Гука (линейная постановка) перемещение пропорционально напряжению. Отвлекаясь от нелинейных эффектов, таких как пластичность и ползучесть, рассмотрим процесс деформационного движения как воздействие на элементы среды известных напряжений. Напряжение при растяжении и сжатии характеризует поступательное движение. Напряжение на изгиб - сложное движение, состоящее из поступательного и вращательного. Напряжение при сдвиге и кручении будем называть торсионным движением, так как оба последних вида напряжений по физической сущности идентичны. Таким образом, всех известных видов элементарных движений три, и применительно к подвижной вязкой среде они соответствуют трём видам элементарных движений: поступательному, вращательному и торсионному.

В отличие от Гельмгольца для характеристики движения подвижной среды рассмотрим уравнения, записанные через ускорения. Это - все те же уравнения Навье-Стокса. Запишем их в векторной форме, аналогичной уравнению Громеки-Ламба для несжимаемой жидкости (divV = 0):

∂V/∂t +grad(V²/2+p/ρ)+2[ω´V]+v×rotrot V =0.

Рассмотрим каждый член этого уравнения подробно. Первый член - инерционный. Он записывается через вторую производную от перемещения. В связи с чем уравнение Навье-Стокса является, по крайней мере, уравнением второго порядка относительно перемещений. Если игнорировать все три последующих члена, и представить их сумму как первый линейный член разложения в ряд Тейлора, то уравнение превратится в классическое уравнение для линейного осциллятора, то есть в уравнение Навье-Стокса уже заложена возможность появления колебательных движений. Будем считать, что присутствие инерционного члена характеризует элементарное волновое движение. Второй член характеризует поступательное движение, так как давление (в скобках представлена запись закона Бернулли) всегда направлено по нормали к поверхности и не предполагает других перемещений кроме как перемещение по нормали к ней. Третий член в качестве параметра содержит угловую скорость. Этот член характеризует вращательное движение. Четвёртый член уравнения определяет деформационную составляющую движения, а точнее только его торсионную составляющую. Это - кручение потока.

Определим величину кручения Т как: Т = rotrotV или Ω = Т /4 [3].

Таким образом, по аналогии с Гельмгольцем можно сформулировать следующую теорему: любое турбулентное течение можно представить как совокупность четырёх видов элементарных движений: поступательного, волнового, вращательного и торсионного.

Основные структуры турбулентного движения (солитоны)

Как показывает анализ экспериментальных данных, полученных методом визуализации различных течений, турбулентность может существовать в виде нескольких характерных устойчивых структур (солитонов) [4]. Эти структуры в зависимости от режимов течений, например чисел Рейнольдса, могут длительно пребывать в устойчивом состоянии и не изменяться в пространстве и во времени. Они могут оставлять чёткие отпечатки на уносимых поверхностях при работе установок, либо быть зафиксированы при теплеровских способах диагностики потоков. Изменение режима течения может сопровождаться потерей устойчивости турбулентного течения и практически скачкообразного перехода к другому виду устойчивого течения. При этом происходит смена одного солитона на другой. На сегодняшний день зафиксированы следующие виды устойчивых состояний: волны Толмиена-Шлихтинга, градиентные волны Кельвина-Гельмгольца, вихри Тейлора-Гертлера, торсионные жгуты и некоторые другие. Эти состояния были подробно описаны в предыдущих работах, например в [5].

Предельные устойчивые состояния

В соответствии с торсионно-волновой парадигмой турбулентности существуют предельные устойчивые состояния. К ним в первую очередь относится ламинарное движение. Это состояние характеризуется весьма низкими значениями чисел Рейнольдса, то есть малыми скоростями, плотностями, но высокими значениями вязкости текучей среды. Такое состояние сменяется волнами Толмиена-Шлихтинга, далее градиентными волнами Кельвина-Гельмгольца, вихрями Тейлора-Гёртлера и торсионными жгутами. Дальнейшее изменение режима течения до условий критического истечения потоков и достижения критических скоростей звука, приводит к переходу к другому предельному устойчивому состоянию. Это - самая бурлящая турбулентность - ламинарность. Да, мы действительно так "измяли" поток предельными режимами, что вновь получили тепловое движение молекул, а это - ламинарное течение. И действительно, любое сверхзвуковое течение - ламинарно. Любое направление обратных токов или поперечных потоков, характерных для турбулентного течения в сверхзвуковом потоке приводит к появлению скачков уплотнения и дальнейшему ламинарному течению. Следующее предельное устойчивое состояние турбулентности это - скачки уплотнения. Между этими состояниями, как уже было сказано, устанавливается ламинарное течение. Солитоны, в форме скачков уплотнений, или точнее ударных волн, являются сгустками турбулентности. Внутри них, на протяжении длины, порядка десятка длин свободного пробега молекул, реализуются почти все виды солитонов. При этом внутри ударной волны происходит переход через критическую скорость звука. Плавная линия насыщения, описывающая форму ударной волны в этом месте имеет точку перегиба. Предельным устойчивым состоянием турбулентного течения в гиперзвуковом потоке является вертикальная ударная волна. Ее ширина практически равна нулю. Это - чистый скачок уплотнения. С математической точки зрения функция в этом месте терпит разрыв, а потоки до и после скачка находятся в стадии предельной турбулентности. И в том и в другом случае они - ламинарные.

Что делать с традиционной парадигмой?

А ничего. Жизнь все поставит на свои места. Выживет та, у которой больше доказательств ее причастности к истине. Или та, которая прямыми наглядными экспериментами безусловно подтвердит свои основополагающие положения. А может та, которая убедительно укажет на недостатки альтернативной. Ясно одно, что ранняя парадигма основывается на случайных процессах, которые искусственно сопрягаются с детерминированными подходами, а фундаментальные феноменологические уравнения Навье-Стокса преобразуются в статистические, что лишает их большинства прогнозных свойств. Основополагающее понятие "пульсация" вводится как мера хаотического движения молей (по Прандтлю) и в экспериментах может дать лишь информацию о случайных воздействиях на чувствительный элемент термоанемометра. С точки зрения торсионно-волновой парадигмы дискретные пульсации не являются причиной турбулентности. Они - лишь следствие закономерного торсионно-волнового движения сплошной среды.

Литература

1. Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: ДРОФА, 2003 г.
2. Л. Прандтль. Гидроаэромеханика. М.: Издательство иностранной литературы, 1954 г.
3. Ю.М. Кочетков. Турбулентность Леонарда Эйлера. Альтернативная интерпретация. // Двигатель № 3, 2007 г.
4. Ю.М. Кочетков. Турбулентность и солитоны // Двигатель № 2, 2005 г.
5. Ю.М. Кочетков, Н.Ю. Кочетков. Турбулентность в РДТТ. Разделительные линии // Двигатель № 4, 2010 г.