ТУРБУЛЕНТНОСТЬ НАВЬЕ-СТОКСА

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

Турбулентное течение жидкости и газа наиболее полно описывается системой дифференциальных нелинейных уравнений второго порядка Навье-Стокса. На протяжении столетий эти уравнения подвергаются пристальному анализу при изучении турбулентности в реальных устройствах, аппаратах и энергодвигательных установках. Практическую значимость этих уравнений трудно переоценить. Они являются уникальным инструментом прогноза гидро- и газодинамических процессов в сложных системах работающих на реальных жидкостях и газах. Анализ этой системы дает возможность предсказания характера сложных турбулентных течений в различных ситуациях, не имеющих заранее наработанного экспериментального задела. При создании новой техники на последнем этапе теоретической проработки проводится расчет системы уравнений Навье-Стокса в полной постановке. В силу своей универсальности эта система еще долгое время будет базисом математического аппарата газовой динамики и одного из ее важнейших разделов - турбулентности.

Адемар Жан-Клод Барре Сен-Венан 1797-1886

Ранее проведенный анализ ("Двигатель" № 3(51), 2007) свидетельствует, что основными причинами турбулентного движения являются градиент статического давления и вязкостное трение. При этом одновременное или независимое воздействие каждого из них описывает четыре составляющие сложного турбулентного движения: поступательную, колебательную, вращательную и торсионную.
Обе названные причины возникают в результате натекания потока на препятствие. В случае плазмы "препятствием" может быть электромагнитное поле. Макро- и микропрепятствия в виде геометрических тел и поверхностных неровностей формируют нормальные и касательные напряжения в среде, порождают массовые и поверхностные силы, приводящие к образованию сложных газодинамических структур.

Пьер Симон Лаплас 1749-1827

В настоящее время отсутствуют аналитические решения векторного уравнения Навье-Стокса в полной постановке. Исключение составляет весьма ограниченная область случаев идеализированных течений, полученных после существенных упрощений общего векторного уравнения. Тем не менее, эти случаи подтверждают правильность основных положений теории для сплошных сред и в идеализированных ситуациях обеспечивают совпадение с экспериментами (течение Гагена-Пуазейля, плоский пограничный слой, течение Павельева ("Двигатель" № 5(53), 2007)) и др.

Симеон Дени Пуассон 1781-1840

Уравнение Навье-Стокса долгое время было и является основным инструментом изучения сложного турбулентного движения жидких и газообразных сред. Оно позволяет предсказывать сложные турбулентные процессы и является универсальным. Многие великие ученые прославились, работая на этом поприще. Используя специальные молекулярные гипотезы относительно свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили: в 1821 г. - Навье, в 1831 г. - Пуассон и в 1843 г. - Сен-Венан. Основы учения о движении вязкой жидкости получили свое завершение в 1845 г. в работах Стокса, который сформулировал закон линейной зависимости напряжений от скоростей деформаций, представляющий обобщение простейшего закона Ньютона, и дал в окончательной форме уравнения пространственного движения вязкой жидкости, получившие наименование уравнений Навье-Стокса.

Гюстав Гаспар Кориолис 1792-1843

Уравнения Навье-Стокса всегда были предметом пристального внимания при изучении не только турбулентного течения, но и чисто математических проблем, связанных с решением такого класса систем уравнений и определением областей их устойчивости. Являясь инструментом прогноза, векторное уравнение остается единственной базой, на которой строятся практически все смежные газодинамические теории. При анализе уравнения Навье-Стокса удается разобраться с природой турбулентного движения сплошной среды и получить ответы на многие практические вопросы.

Применительно к условиям несжимаемой среды (дозвуковые течения и течения жидкостей) векторное уравнение Навье-Стокса приобретает достаточно простой вид, что позволяет его классифицировать с математической точки зрения как адекватную систему уравнений второго порядка с существенной нелинейностью. Вид этой системы, в зависимости от решаемой задачи, может трансформироваться. Например, для описания волнового движения рабочего тела с постоянной энтропией уравнения становятся гиперболическими и в одномерном приближении приобретают вид уравнения колеблющейся струны.

Для описания пограничного слоя в случае одномерного вязкого течения с постоянным давлением используются уравнения Навье-Стокса в форме уравнения Бюргерса, которое после определенной подстановки Коула-Хопфа становится уравнением параболического типа и приобретает вид уравнения теплопроводности.

Классическое уравнение Бюргерса имеет локализованные решения в виде солитонов и описывает ударные волны с вязкой структурой и их неупругие взаимодействия.

Особый интерес представляет класс эллиптических уравнений. Среди них - уравнение, описывающее потенциальное течение. Течение в этом случае дисторсионное ("Двигатель" № 3 (51), 2007) и характеризуется отсутствием кручения потока.

"Дым столбом стоит над крышей, -то-то тяга хорошо". А.Т. Твардовский "Ленин и печник"

Существует еще один важный частный случай эллиптического класса уравнения Навье-Стокса. Поскольку структура турбулентного течения представляет собой строго упорядоченную систему взаимно влияющих друг на друга линий тока, сформированных в зависимости от внешних условий, но не допускающих пересечений между собой, то вдоль каждой такой линии правомочным является уравнение Бернулли. В отличие от пульсационной гипотезы, когда уравнение Бернулли применять несправедливо, членом уравнения Навье-Стокса, содержащим градиент полного давления, можно пренебречь, и тогда для стационарного случая течения уравнение может быть представлено в простом виде. В скалярном виде зависимости представляют собой уравнения Пуассона.

Проанализируем полученное уравнение. Векторное произведение справа является ускорением Кориолиса, поделенным на кинематическую вязкость. Его вектор направлен по правилам векторного произведения. Становится понятной причина возникновения силы в поперечном направлении. Это - сила Кориолиса. Теперь можно объяснить желание исследователей интерпретировать ее как силу, порождающую случайное пульсационное движение молей среды.

"... и пробка в потолок, вина кометы брызнул ток". А.С. Пушкин. Евгений Онегин

Очевидно, что сила Кориолиса может быть мерой турбулентности и поэтому ее целесообразно сравнить с величиной максимальной турбулентности, а именно с ламинарностью. То есть необходимо сравнить возникающие поперечные усилия с тепловыми характеристиками хаотического движения, реализующимися в условиях критических параметров потока. Для этого приведем к безразмерному виду левую и правую части полученного уравнения. Введем важный безразмерный параметр, который может служить критерием турбулентности потока. Он выражается как безразмерное отношение напряжений Кориолиса, направленных поперек потока, и акустических (тепловых) напряжений при критических параметрах рабочей среды.

В предыдущей статье ("Двигатель" № 3(51), 2007) было показано, что величина характеризует кручение потока и в общем случае является характеристикой торсионного поля. Формальное отсутствие ускорения Кориолиса указывает на то, что течение является дисторсионным, а незначительная вязкость говорит о том, что течение сильно закручено (турбулизировано).

Проведенный анализ уравнения Навье-Стокса указывает на эффективную возможность теоретического исследования сложного турбулентного течения путем разложения его на элементарные виды движения, представленные в лингвистической форме отдельных независимых членов данного уравнения.

[Напоминаем, что Интернет-вариант статьи сильно сокращен. Ред.]