ТУРБУЛЕНТНОСТЬ НАВЬЕ-СТОКСА
Альтернативная интерпретация

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

Всесторонний анализ уравнений Навье-Стокса, проводимый учеными на протяжении полутораста лет, неизменно открывает все новые и новые свойства турбулентного течения. Записанные окончательно Стоксом в 1845 г., уравнения практически не претерпели изменений и являются основой теоретической газовой динамики. С помощью этих уравнений и последующих экспериментальных проверок были установлены многочисленные эффекты, связанные с турбулентностью. Были предсказаны вихри Тейлора-Гертлера, волны Толмина-Шлихтинга, структура и динамика развития солитонов и сделаны другие важные открытия. Эти уравнения используются при построении инженерных методов и упрощенных схем: приближенного метода Рейнольдса, методики пограничного слоя, линейного подхода к решению задач устойчивости. Понятно желание исследователей получить альтернативные уравнения, так же полно описывающие процессы турбулентного течения.

Джеймс Клерк Максвелл

При описании динамики любой подвижной среды используется известная основополагающая система уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Замыкание этой системы осуществляется при помощи уравнения состояния. Если среда электропроводящая и существует в виде плазмы, то для замыкания общей системы дополнительно используются условия сохранения заряда и соотношения для электромагнитного поля, которые выражаются в виде системы уравнений Максвелла.

При переходе от обычной газовой динамики к динамике плазмы задача описания процесса течения усложняется не только с математической точки зрения, но и с физической. Появляются многочисленные эффекты, связанные с взаимным воздействием заряженных частиц, их электрических и магнитных полей, дрейфовые, резонансные эффекты и прочее. Принципиально различаются низкотемпературная и высокотемпературная плазма. Причем низкотемпературную плазму с температурой примерно до Т = 10000 К можно рассматривать как сплошную среду и применять в расчетах подходы, традиционно используемые для описания движения газов. Высокотемпературную плазму (Т ~ 100000 К) удается описать при помощи механизмов физической кинетики плазмы с учетом релятивистских эффектов, синхротронного излучения и других особенностей.

Ирвин Ленгмюр

Основной характеристикой плазмы является частота Ленгмюра, названная так в честь основоположника учения о плазме. Эта частота возникает в случае разделения зарядов на положительные ионы и отрицательно заряженные электроны и ионы, что приводит к колебаниям плотности заряда. Наличие и уровень таких колебаний характеризует как саму плазму, так и ее степень ионизации.

Плазма является не просто четвертым состоянием вещества (твердь, вода, воздух и огонь), но и самой общей субстанцией, характеризующей любую более низкую субстанцию. Следующим состоянием, но уже не вещества, являются элементарные частицы, которые материально присутствуют в природе и технике в виде потоков космических заряженных частиц и электронных/ионных пучков, выводимых из ускорителей. Поэтому математические методы описания плазмы могут с успехом использоваться для описания обыкновенных газов.

С учетом этого факта рассмотрим альтернативную интерпретацию уравнения Навье-Стокса. Уравнение движения должно учитывать пондермоторную силу Лоренца в форме, представленной в работах В.М. Иевлева по исследованию магнитогидродинамической турбулентности в двигателях и энергоустановках на газофазном ядерном реакторе. В этих уравнениях помимо газодинамических параметров скорости V, плотности и давления р учитываются электромагнитные параметры: напряженность магнитного поля и величина плотности тока j. Кроме того, в уравнении индукции появляется коэффициент магнитной вязкости: . В отличие от кинематической вязкости этот коэффициент зависит от электропроводности среды (с - скорость света) и характеризует межслоевое взаимодействие между линиями магнитного поля.

Виталий Михайлович Иевлев

Плотность тока выражается через величину скорости движения заряженных частиц плазмы, например электронов: .

В том случае, когда член в правой части уравнения движения плазмы, зависящий от магнитного поля, формально равен нулю, уравнение превращается в уравнение Навье-Стокса. Это очевидный факт. После несложных преобразований получаем газодинамическую форму уравнения, являющуюся альтернативной интерпретацией векторному уравнению Навье-Стокса: .

Антоон Лоренц

После преобразований получился удивительный факт - альтернативной интерпретацией уравнения Навье-Стокса является само уравнение Навье-Стокса. С онтологической точки зрения этому факту можно дать понятное объяснение: все закономерности в природе адекватны, аксиоматический набор различных дисциплин идентичен, а используемый математический аппарат универсален.

Формальное сопоставление двух видов уравнений, традиционного и альтернативного, показывает, что магнитная вязкость и кинематическая вязкость - одно и тоже. Магнитная вязкость расширяет понятие вязкости и дает возможность яснее представить природу турбулентного течения в условиях плазмы и просто газа. Магнитная вязкость связана с электропроводностью среды. Поскольку электропроводность отражает переносные свойства плазмы, в частности подвижность заряженных частиц, можно при помощи полученной зависимости находить связь между всеми известными коэффициентами переноса: вязкостью, диффузией, теплопроводностью и электропроводностью.

В статье, опубликованной в журнале "Двигатель" № 6 (54) - 2007, обсуждались причины возникновения турбулентности. Это - преграды на пути любого потока подвижной среды и электромагнитное поле. Коэффициент вязкости и в том, и другом случае осуществляет связь между потоком и преградой. Формальная математическая связь между инерционным членом и поверхностными силами осуществляется коэффициентом Ламэ (коэффициентом вязкости ).

Поиск альтернативного уравнения для описания турбулентного течения позволил получить качественно новый вывод о коэффициенте вязкости, что дает в дальнейшем возможность проводить более качественные исследования турбулентности плазмы в магнитном поле.

[Напоминаем, что Интернет-вариант статьи сильно сокращен. Ред.]