ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАЧЕМ ЕЙ ПУЛЬСАЦИИ

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

Турбулентность сопровождает нас везде, где есть машины и аппараты, двигатели и энергоустановки, где используются рабочие тела в виде трех известных фазовых состояний: жидкости, газа и плазмы. Теоретическое описание турбулентных течений остается большой научной проблемой. Многие известные подходы к ее решению в настоящее время являются приближенными, и в бoльшей своей части основаны на эмпирических моделях турбулентности.

Турбулентные течения жидкости, газа и плазмы возникают практически во всех ситуациях, связанных с эксплуатацией машин и аппаратов, работающих на подвижных рабочих средах. На сегодняшний день наиболее представительным и надежным методом исследования структуры таких течений является экспериментальный. Этот метод, как правило, является наглядным и позволяет получить количественные результаты.

С теоретической точки зрения весьма полезны расчетные методы, которые базируются на решении уравнений математической физики. И главным для газодинамики сплошных сред является фундаментальное векторное уравнение Навье-Стокса, которое описывает широкий класс вязких, сжимаемых течений жидкости, газа и плазмы. Нет оснований сомневаться, что это уравнение справедливо для ламинарных и турбулентных течений. Существует большое число частных газодинамических задач, которые подтверждают соответствие экспериментальных результатов и решений этого уравнения.

Уравнение Навье-Стокса построено на балансе импульсов или сил, действующих на элементы среды. В левую часть уравнения входит инерционный член. В правой части располагаются последовательно - силы давления, вязкости и сила Лоренца. Уравнение является весьма сложным и в настоящее время аналитически оно не решено, хотя существует много методов, при помощи которых оно решается численно. Но все же желанием исследователей турбулентных течений всегда было получение конечных математических соотношений, позволяющих проводить наглядный анализ и определять области допустимых значений. Поэтому решение уравнения Навье-Стокса максимально преобразовывалось или упрощалось. Так для стационарного течения жидкости и газа уравнение приобретало вид уравнения Пуассона. Строго говоря, при этом делалось первое упрощение, суть которого сводится к пренебрежению частной производной по времени и сужению класса течений до стационарных для жидких и газообразных сред. Взамен получили возможность провести математический анализ.

Существуют и другие упрощения уравнения Навье-Стокса, которые на разных этапах развития газодинамики позволяли отвечать на теоретические и практические вопросы, связанные с турбулентностью. Ниже проведен анализ других наиболее известных упрощений.
Уравнение Эйлера. Хотя это уравнение появилось гораздо раньше уравнения Навье-Стокса, можно считать, что оно является неким упрощением. Если пренебречь вязкостью, то уравнение Навье-Стокса принимает вид уравнения Эйлера. Это уравнение справедливо вдали от стенок каналов и обтекаемых тел. Вблизи стенок сильны эффекты вязкости, которые значительно меняют структуру и режим течения. Наиболее эффективно дифференциальные уравнения Эйлера могут использоваться в сверзвуковой части сопла, где поток можно считать идеальным. Приближение Эйлера также можно использовать для газов с низкой вязкостью и при работе на низких температурах (атмосферный воздух).

В практических расчетах используется комбинированный подход - ядро потока рассчитывается по уравнению Эйлера, а поток у стенок - по уравнению Навье-Стокса. Если учесть, что все реальные рабочие тела являются вязкими, то уравнение Эйлера всегда является приближенным.

Рассмотрим использование симметрии. Очень часто при расчетах течений используют симметрию. Обтекание осесимметричных тел и течение в осесимметричных соплах наталкивают на искушение использовать этот факт и из трех дифференциальных уравнений векторного уравнения Навье-Стокса оставить два. При этом свести трехмерную постановку задачи к двумерной, считая, что симметричные координаты можно опустить. В этом случае сильно упрощается расчетный процесс. Для отдельных случаев создаются условия получения аналитического решения. И все было бы хорошо, если бы не турбулентность. А она нарушает все планы и снижает надежду на успех. Дело в том, что с увеличением числа Рейнольдса осесимметричная картина турбулентного течения нарушается. При обтекании поперечного цилиндра появляется дорожка Кармана; при течении в сопле с градиентом давления образуются вихри Тейлора-Гертлера, а при обтекании сферы (журнал "Двигатель", № 4 (46), 2006 г.) в ближнем следе образуется плотно упакованная "оплетка". И не удивительно то, что расчеты с осесимметричным допущением никогда не дают подобных конфигураций. В одномерном приближении эффекты пространственных течений (турбулентности) теряются еще больше.

Случай линеаризации. Хуже обстоит дело, когда избавляются не от координат, а от нелинейных членов. Ведь векторное уравнение Навье-Стокса или, что то же самое, система трех дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоят из нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Это уравнения колебательного типа или волновые. Решения этих уравнений могут быть либо периодическими, либо солитоновыми (журнал "Двигатель", № 2 (38), 2005 г.). Если из уравнений Навье-Стокса удалить нелинейный конвективный член, то система станет линейной, а локализованные стационарные решения, характеризующие турбулентность, будут утрачены. Другими словами, используя линеаризацию, мы сами себе определяем решение в виде гармоник, игнорируя важные эффекты, определяющие структуру турбулентности. С методической точки зрения использование линеаризации позволило разработать новые подходы к исследованиям в гидрогазодинамике. Был разработан аппарат изучения устойчивости, который был взят за основу при объяснении перехода от ламинарного течения к турбулентному. Великолепный математический аппарат демонстрировал преемственность различных дисциплин. К сожалению, результаты многочисленных теоретических исследований течения при переходе его к турбулентности не совпадали с экспериментальными данными. Поэтому разработать методику определения критического числа Рейнольдса не удалось.

Приближение пограничного слоя. Одним из способов решения уравнения Навье-Стокса является способ выделения вязкой пристенной области и области условно потенциального течения. При этом область, расположенная далеко от стенки может считаться невязкой. Газодинамические решения для этой области находятся из уравнения Эйлера. В области, находящейся непосредственно около стенки, эффекты вязкости проявляются наиболее сильно. Приближение Эйлера здесь несправедливо. Эта пристенная вязкая область называется пограничным слоем и имеет следующие особенности:

Эти особенности позволяют упростить эллиптические уравнения Навье-Стокса и в дальнейшем свести их к параболическим.
Наиболее строгое упрощение сделал Людвиг Прандтль, который для абстрактной плоской задачи, предусматривающей обтекание пластины полубесконечным потоком, ввел понятие толщины пограничного слоя. При этом Прандтль использовал свойство профиля скорости, имеющего вид кривой насыщения. Для определения толщины пограничного слоя им было установлено отличие текущей скорости в пограничном слое и скорости на бесконечности, которое составляло один процент V = 0,99·V . В месте, где эта зависимость выполнялась, заканчивался пограничный слой, а толщина в этом месте была названа толщиной пограничного слоя ().
Далее Прандтль произвел оценку членов уравнений Навье-Стокса применительно к этим условиям и среди прочего показал, что толщина пограничного слоя порядка обратной величины корня из числа Рейнольдса ~ (Re)^-0,5, градиент давления поперек пограничного слоя порядка толщины пограничного слоя dp/dy ~ . Эти оценки позволили преобразовать уравнение Навье-Стокса до более простых.

На практике подобные упрощения необходимо производить особенно осторожно. Когда решаются задачи обтекания различных тел или течений в соплах, необходимо осознавать, что нюансы турбулентности скрываются именно в отброшенных членах, а прямая замена трехмерных течений на плоские лишает задачу градиентности.

Рассмотрим упрощение Рейнольдса. Упрощение Рейнольдса основывается на статистическом определении турбулентного течения. В отличие от волновой концепции (журнал "Двигатель", № 4(46), 2006 г.) статистическая теория предполагает наличие в потоке большого количества отдельных невзаимосвязанных мелких вихрей различной интенсивности, непрерывно меняющих свое положение, при которых происходит перенос масс жидкости между ее соседними слоями. Эти мелкие массы, которые Л. Прандтль назвал молями, перемещаясь, вызывают, так называемые, пульсации параметров потока: давления Р^l, скорости U^l, плотности r^l и т.д. Строго говоря, пульсации - это отдельные толчки со стороны турбулентного потока, которые может зафиксировать замечательный измерительный прибор - термоанемометр. Этот прибор, независимо от причины возникновения, может фиксировать любые всплески, выбросы, колебания среды и просто случайные перемещения. В общем, он записывает все, что пыхает и вздрагивает. Такой прибор оказался весьма кстати и на протяжении уже долгих лет используется для исследования сложных турбулентных течений.

В целях объяснения структуры турбулентности абсолютные значения параметров было принято выражать в виде алгебраической суммы некоторой средней величины (P_ср) и пульсационной составляющей: Р=P_ср + Р^l.

Cчиталось, что осредненное по времени движение характеризуется полем скоростей и определяется руслом, в котором происходит движение. Кроме того, предполагалось, что поле пульсационных скоростей, интенсивность которого определяется степенью турбулизации потока, является характеристикой, зависящей от времени.

Эти умозрительные допущения легли в основу нового представления Рейнольдсом уравнений Навье-Стокса. Проще говоря, О. Рейнольдс эти уравнения "распульсировал". Он получил из трех уравнений Навье-Стокса свои шесть уравнений. Немедленно возникла проблема замыкания этих уравнений - потребовалось дополнительно три граничных условия. До сих пор эта проблема в общем виде не решена.

Запись этих уравнений повлекла за собой целый ряд новшеств. Появились правила осреднения параметров по Рейнольдсу. Было введено понятие кажущегося касательного напряжения (Рейнольдсово напряжение).

Кроме того, были введены понятия турбулентной вязкости, масштаба турбулентности l и спектральной функции распределения энергии по масштабу ?. В дальнейшем все эти параметры вычислялись с помощью корреляционных зависимостей, полученных экспериментально при помощи показаний термоанемометра с последующей статистической обработкой (закон Колгоморова - Обухова).

Замыкание уравнений, то есть введение дополнительных соотношений, необходимых для их решения, осуществляется с помощью специально разработанных моделей турбулентности. В настоящее время в литературе представлено около двух десятков аналогичных моделей. Они все, как правило, основываются на гипотезах (гипотеза о пути перемешивания Прандля, гипотеза Тейлора о переносе завихренности и т.п.) и результатах экспериментов на плосковоздушных "холодных" моделях. С помощью моделей турбулентности находится связь пульсационных составляющих турбулентного потока и осредненных значений параметров.

Таким образом, введенные в уравнения понятия пульсаций были необходимы для использования на промежуточном этапе преобразований обширного экспериментального статистического материала с целью изыскания подходов к решению собственно уравнений Навье-Стокса. Нагромождение формул и символов в уравнениях Рейнольдса по сравнению с уравнениями Навье-Стокса, тем не менее, на практике позволяет несколько сократить время расчетов и более быстрым путем получить осредненные значения параметров турбулентных течений. Однако точность решения уравнений Рейнольдса теперь уже существенно зависит от адекватности выбранной модели турбулентности, которая уже предопределяет внутреннюю структуру течения.

В заключение остается сказать, что любой метод расчета будет полезен для практики лишь в том случае, если он тщательно верифицирован, то есть проверен экспериментально. Этот метод будет полезен тогда, когда основополагающее уравнение при решении будет максимально сохранено, когда сделанные упрощения и допущения не искалечат его.

К счастью, для описания турбулентности мы имеем такое векторное уравнение. Это именно уравнение Навье-Стокса. Для того, чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться мощными высокоскоростными электронно-вычислительными машинами. Но и на этом пути исследователей встречают многочисленные трудности. Поэтому остается одно - решить эту замечательную систему аналитически, и тогда многие, а может быть и все проблемы турбулентности будут сняты.