ТУРБУЛЕНТНОСТЬ БЕЗ ГРАДИЕНТОВ

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

Сложное турбулентное течение предполагает наличие градиентов давления в направлении вектора скорости. Многие крупногабаритные аппараты: морские суда, самолеты, сопловые блоки маршевых ракетных двигателей и т. д. представляют собой конструкции с поверхностями малой кривизны. Тем не менее турбулентное течение рабочих сред вблизи таких, почти плоских, стенок является весьма сложным. Аппроксимация их плоскими одномерными течениями не всегда оправдана и может привести к ошибочным результатам при выполнении газодинамических и тепловых расчетов конструкций.

Многие технические задачи газовой динамики для простоты их решения рассматриваются как безградиентные. При этом существенно упрощается математическая модель, описывающая процесс, и большинство членов уравнения Навье-Стокса в учет не берется. Считается, что безградиентными течениями являются течения вдоль плоской пластины и вдоль образующей цилиндрической поверхности. В этих случаях считается, что продольный градиент давления dp/dx = 0, а абсолютная величина статического давления по всему тракту остается постоянной величиной. Поскольку английское слово gradient означает уклон, скат или склонение, то течение вдоль пластины или цилиндрического канала происходит без подъемов, спусков или пережатий. Часто, желая упростить сложные трехмерные расчеты, исследователи аппроксимируют поверхности обтекания безградиентными формами, сводя задачу к плоской и т.д. Такой подход обосновывается тем, что многие поверхности большегрузных судов, фюзеляжи самолетов и крупногабаритных сопел имеют относительно невысокую кривизну и являются почти плоскими. При этом так называемая стрелка вогнутости намного меньше характерной длины. Нередко указанный прием приводит к весьма существенному сокращению объема расчетов и даже обеспечивает возможность аналитического решения соответствующей задачи.

Но всегда ли оправдан такой подход? Можно ли во всех ситуациях им пользоваться? А если и можно, то в каких пределах? Теоретический и экспериментальный анализ показывает, что пользоваться таким приемом весьма нежелательно, а если это все-таки необходимо, то после строгих обоснований и, в основном, при очень низких числах Рейнольдса, когда течение заведомо ламинарное. В случае турбулентных течений такой подход неправомерен.

Что же собой представляет течение вдоль плоской пластины? На первый взгляд - это действительно безградиентное течение. Его нельзя классифицировать ни как внешнее течение (обтекание тел), ни как внутреннее (течение в каналах, соплах, диффузорах). Это - особое течение. С математической точки зрения - это "особая точка". И, как будет показано ниже, оно обладает всеми свойствами и того, и другого класса течений. Поэтому оно является самым сложным из всех видов турбулентного течения и включает в себя все виды устойчивости, характерные для внешнего и внутреннего течений.

Основной причиной зарождения турбулентности на пластине является трение. Вязкий газ, протекая вблизи плоской стенки, тормозится и при достижении ее останавливается (гипотеза прилипания Прандтля). Скорости же наиболее удаленных от стенки слоев газа практически не отличаются друг от друга, и при ламинарных течениях сформированный профиль скоростей является гладким и выпуклым в соответствии с законом трения Ньютона. В этом случае течение является послойным, а линии тока параллельны друг другу.
С ростом интенсивности обтекания пластины число Рейнольдса увеличивается, возникает волновое движение и уже при достаточно малых амплитудах его форма принимает вид гармонической функции - это течение в режиме малых возмущений. Такие течения называются волнами Толмина-Шлихтинга. Они могут возникать на плоских и криволинейных поверхностях. Эти течения описываются линейными дифференциальными уравнениями, полученными в результате линеаризации уравнения Навье-Стокса.

С увеличением скорости потока волны на значительном удалении от стенки становятся крутыми, а их форма начинает существенно зависеть от амплитуды. Возникает так называемая нелинейность течения. Это математическое свойство нелинейных дифференциальных уравнений имеет глубокий физический смысл. Свойство нелинейности проявляется вблизи стенки сопла при относительно больших числах Рейнольдса. При этом симметричная волна деформируется в процессе ее распространения, а угол наклона переднего фронта за наивысшей точкой резко увеличивается и даже приобретает отрицательное значение. Одним из наиболее известных примеров нелинейной волны является морская волна с заваливающимся гребнем. Этот "завал" объясняется тем, что скорость волны выше в тех местах, где ее амплитуда больше. Верхние слои обгоняют нижние и, в конце концов, могут опрокидываться. Деформацию волнового профиля такого типа принято называть "градиентной катастрофой".

Волны разной длины распространяются с различной скоростью вследствие явления дисперсии. Дисперсия заставляет волну расплываться или в итоге делает ее плоской. Конкуренция между нелинейностью и дисперсией приводит к образованию устойчивых структур - солитонов ("Двигатель", № 2 (38) - 2005). Динамику опрокидывающейся волны можно проследить в результате решений нелинейных уравнений гидродинамики.

Аналогичная картина может возникать вблизи плоской пластины при низких и умеренных скоростях течения. Здесь также происходит послойное перетекание газа с дальнейшим образованием гармонических волн, которые, деформируясь, образуют опрокидывающуюся волну. При этом вниз по потоку амплитуда растет, и внешние линии тока, плавно обтекающие начальный и синусоидальный участки пристенных волн, приобретают форму опрокидывающейся волны. В зоне опрокидывания линии тока резко направляются вниз к стенке с положительным градиентом давления. При этом обтекание гармонических волн внешним потоком происходит при незначительном изменении давления, а обтекание за опрокидывающейся волной из-за ее больших размеров происходит при значительных градиентах давления. Характер обтекания в этом случае аналогичен характеру обтекания поперечного цилиндра или шара ("Двигатель" № 4 (46) - 2006). Натекание осуществляется с отрицательным градиентом давления и может приводить к образованию вторичных волн Толмина-Шлихтинга, а стекание - при положительном градиенте. Здесь образуются вихри Тейлора-Гертлера. При достижении стенки обтекающим потоком новые течения переформировываются в устойчивые жгутовые образования. Градиент давления при этом на всем дальнейшем протяжении остается постоянным и равным нулю (dp/dx = 0).

Безградиентным считается также внешнее и внутреннее обтекание образующей цилиндра. Структура турбулентности в обоих случаях аналогична плоской. Также проявляются нелинейные эффекты, связанные с образованием опрокидывающейся волны и последующим формированием продольных структур Тейлора-Гертлера. Наблюдаются синусоидальные волны Толмина-Шлихтинга, а в районе возникшего положительного градиента давления (dp/dx > 0) - продольные вихри Тейлора-Гертлера.

При внутреннем течении в полости отборника частиц конденсированной фазы ("Двигатель", № 2 (44) - 2006) на поверхности уносимой втулки также наблюдаются отмеченные выше когерентные структуры. Эти структуры на цилиндрической поверхности уносимого материала представляют собой следы жгутов.

Весьма сложная структура турбулентного движения на пластине лишний раз убеждает в том, что любые аппроксимации течений вблизи сложных геометрических форм более простыми геометрическими формами могут оказаться неверными и привести к неправильным результатам расчетов.